Mehrwertige Logik

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Mehrwertige Logik ist ein Oberbegriff für alle logischen Systeme, die mehr als zwei Wahrheitswerte verwenden.

Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik war die im Jahre 1920 von Jan Łukasiewicz vorgestellte dreiwertige Logik Ł₃. Ihre drei Wahrheitswerte werden von Łukasiewicz als „wahr", „falsch" und „möglich" interpretiert. Ausgangspunkt war dabei die erkenntnistheoretische Frage, ob dem Prinzip der Zweiwertigkeit außerlogische Wahrheit zukommt.

In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der Informatik hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass Datenbanken nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.

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[Bearbeiten] Kleene-Logik $K 3$

Die Kleene-Logik $K 3$ enthält drei Wahrheitswerte, nämlich "1" für "wahr", "0" für "falsch" und "i" für "weder wahr noch falsch". Kleene definiert die Negation $f\neg$ , Konjunktion $f\wedge$ , Disjunktion $f\vee$ und Implikation $f\rightarrow$ durch folgende Wahrheitswertfunktionen:

$\begin{array}{|c||c|} f\neg & \\ \hline 1 & 0 \\ i & i \\ 0 & 1 \\ \end{array} \quad \begin{array}{|c||c|c|c|} f\wedge & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & i & 0\\ i & i & i & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \quad \begin{array}{|c||c|c|c|} f\vee & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1\\ i & 1 & i & i\\ 0 & 1 & i & 0\\ \end{array} \quad \begin{array}{|c||c|c|c|} f\rightarrow & 1 & i & 0\\ \hline 1 & 1 & i & 0\\ i & 1 & i & i\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{array}$

[Bearbeiten] Bochvar-Logik $B 3$

Die Bochvar-Logik $B 3$ enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation $\neg$ , Implikation $\rightarrow$ , Disjunktion $\vee$ , Konjunktion $\wedge$ und Bisubjunktion $\leftrightarrow$ entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation $\neg *$ , Implikation $\rightarrow *$ , Disjunktion $\vee *$ , Konjunktion $\wedge *$ und Bisubjunktion $\leftrightarrow *$ sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:

$\neg *\varphi$ ( $\varphi$ ist falsch)
$\varphi\rightarrow *\psi$ (ist $\varphi$ wahr, so auch $ψ$ )
$\varphi\vee *\psi$ ( $\varphi$ ist wahr oder $ψ$ ist wahr)
$\varphi\wedge *\psi$ ( $\varphi$ ist wahr und $ψ$ ist wahr)
$\varphi\leftrightarrow *\psi$ ( $\varphi$ ist wahr gdw $ψ$ ist wahr)

Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik $K 3$ .

Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung $A *$ mit der Wahrheitswertfunktion

$\begin{array}{|c||c|} A_* & \\ \hline 1 & 0 \\ i & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}$

Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:

$\neg *\varphi�:=\neg A_*\varphi$
$\varphi\vee *\psi�:= A_*\varphi\vee A_*\psi$
$\rightarrow\vee *\psi�:= A_*\varphi\rightarrow A_*\psi$
$\varphi\wedge *\psi�:= A_*\varphi\wedge A_*\psi$
$\varphi\leftrightarrow *\psi�:= A_*\varphi\leftrightarrow A_*\psi$

Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.

[Bearbeiten] Gödel-Logiken $G k$

Die Konjunktion $\wedge$ und die Disjunktion $\vee$ werden durch die Maxima und Minima der Formelwahrheitswerte definiert:

$u\wedge v:= min\{u,v\}$
$u\vee v:= max\{u,v\}$

Die Negation $\sim$ und Implikation $\rightarrow _G$ werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:

$\sim u=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u=0\\ 0, & \text{wenn }u>0 \end{cases}$

$u\rightarrow _G v=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u\leq v\\ 0, & \text{wenn }u>v \end{cases}$

Die Menge der Wahrheitswerte $W k$ ist folgendermaßen definiert:

$W_k�:=\{k:2\leq k\leq\infty\}$

[Bearbeiten] Łukasiewicz-Logiken $L k$

Die Implikation $\rightarrow _L$ und die Negation $\neg$ werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:

$\neg u:=1-u$
$u\rightarrow _L v:=min\{1,1-u+v\}$

Die Menge der Wahrheitswerte $W k$ ist folgendermaßen definiert:

$W_k�:=\{k:2\leq k\leq\infty\}$

[Bearbeiten] Produktlogik $Π$

Die Produktlogik enthält eine Konjunktion $\odot$ und eine Implikation $\rightarrow _{\Pi}$ , die folgendermaßen definiert werden:

für $u,v\in\mathbb{R}$ : $u\odot v:=uv$
$u\rightarrow _{\Pi}v:=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u\leq v\\ \frac {u}{v}, & \text{wenn }u<v \end{cases}$

Zusätzlich enthält die Produktlogik eine Wahrheitswertkonstante $\overline{0}$ , die den Wahrheitswert "falsch" bezeichnet.

Mittels der zusätzlichen Konstanten können eine Negation $\sim$ und eine weitere Konjunktion $\wedge$ folgendermaßen definiert werden:

$\sim\varphi�:=\varphi\rightarrow _{\Pi}\overline{0}$
$\varphi\wedge\psi�:=\varphi\odot (\varphi\rightarrow _{\Pi}\psi )$

[Bearbeiten] Post-Logiken $P m$

Post $P m$ definiert die Negation $\sim$ und Disjunktion $\vee$ folgendermaßen:

$\sim u�:=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u=0\\ u-\frac {1}{m-1}, & \text{wenn }u\not= v \end{cases}$

$u\vee v:=max\{u,v\}$

[Bearbeiten] Vierwertige Logik von Belnap

Hauptartikel: Belnaps vierwertige Logik

So wurde zum Beispiel 1977 von Nuel Belnap eine vierwertige Logik entwickelt mit den Wahrheitswerten t (true, wahr), f (falsch), u (unbekannt) und b (beides, also einer widersprüchlichen Information).

[Bearbeiten] Fuzzy-Logik

Darüber hinaus wurden Logiken wie die Fuzzy-Logik entwickelt, die sogar unendlich viele Wahrheitswerte für den Grad der Wahrheit besitzt. Diese werden durch eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 repräsentiert.

[Bearbeiten] Anwendung mehrwertiger Logiken

In der Hardwareentwicklung von Logikschaltungen werden mehrwertige Logiken zur Simulation eingesetzt, um verschiedene Zustände darzustellen sowie Tri-State-Gatter und Busse zu modellieren. In der Hardwarebeschreibungssprache VHDL wird zum Beispiel oft die im IEEE-Standard mit der Nummer 1164 definierte neunwertige Logik verwendet, die Standard Logic 1164. Sie hat die Werte

U undefiniert
X unbekannt (starker Treiber)
0 logische Null (starker Treiber)
1 logische Eins (starker Treiber)
Z hochohmig (hohe Impedanz Z)
W unbekannt (schwacher Treiber)
L logische Null low (schwacher Treiber)
H logische Eins high (schwacher Treiber)
- unwichtig don't care

Standard Logic 1164, eine neunwertige Logik zur Hardwaresimulation

In einer realen Schaltung treten nur 1, 0 und (bei Ein-/Ausgängen) Z auf. In der Simulation tritt der Zustand U bei Signalen auf, denen bisher noch kein anderer Wert zugewiesen wurde. Der Wert - (Don't-Care, wird außerhalb von VHDL oft mit X dargestellt) dient nur zur Synthese; er signalisiert dem Übersetzungsprogramm, dass ein bestimmter Zustand nicht vorgesehen ist und es daher egal ist, wie die synthetisierte Schaltung mit diesem Zustand umgeht.

Die Unterscheidung zwischen starken und schwachen Treibern dient dazu, in einem Konfliktfall (wenn zwei Ausgänge auf eine einzige Leitung zusammengeschaltet sind und verschiedene Werte liefern) zu entscheiden, welches Signal der entsprechenden Leitung zugeschrieben wird. Dieser Konflikt tritt oft bei Bussystemen auf, wo mehrere Busteilnehmer gleichzeitig anfangen, Daten zu senden. Trifft nun eine 1 (stark) auf ein L (schwach), so setzt sich das starke Signal durch, und der Signalleitung wird der Wert 1 zugeschrieben. Treffen jedoch gleichstarke Signale aufeinander, so geht die Signalleitung in einen undefinierten Zustand. Diese Zustände sind X (bei Konflikt zwischen 1 und 0) und W (bei Konflikt zwischen H und L).

[Bearbeiten] Abgrenzung

Das Konzept der mehrwertigen Logik wird oft mit metaphysischen oder mit erkenntnistheoretischen Fragestellungen vermischt. Darunter fällt z.B. die häufig gestellte Frage, welches logische System "stimmt", d.h. welches logische System die Wirklichkeit richtig (oder besser: am besten) beschreibt. Unterschiedliche philosophische Strömungen geben auf diese Frage unterschiedliche Antworten; einige Strömungen, z.B. der Positivismus, lehnen gar die Fragestellung an sich als sinnlos ab.

[Bearbeiten] Weblinks

Siegfried Gottwald:�„Many-Valued Logic“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inkl. Literaturangaben)
Multiple-Valued Logic - An International Journal (MVL-IJ)
Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing
Melvin Fitting: Multiple-valued logics
Nuel Belnap: (Some) papers and publications
Zitate zu Nuel Belnap: A Useful Four-valued Logic

[Bearbeiten] Literatur

L. Kreiser, S. Gottwald, W. Stelzner (Hge.): Nichtklassische Logik. Eine Einführung., Berlin: Akademie-Verlag ²1990
A.A. Sinowjew: Über mehrwertige Logik. Ein Abriß, Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1968. (Auch Braunschweig: Vieweg und Basel: C.F. Winter)
Gotthard Günther: Idee und Grundriss einer nicht-Aristotelischen Logik, 3. Aufl. Meiner, Hamburg, 1991
Gottwald, Siegfried: Mehrwertige Logik. Ein Einführung in Theorie und Anwendung. Berlin: Akademie-Verlag, 1989.

Mehrwertige Logik

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[Bearbeiten] Kleene-Logik $K 3$

[Bearbeiten] Bochvar-Logik $B 3$

[Bearbeiten] Gödel-Logiken $G k$

[Bearbeiten] Łukasiewicz-Logiken $L k$

[Bearbeiten] Produktlogik $Π$

[Bearbeiten] Post-Logiken $P m$

[Bearbeiten] Vierwertige Logik von Belnap

[Bearbeiten] Fuzzy-Logik

[Bearbeiten] Anwendung mehrwertiger Logiken

[Bearbeiten] Abgrenzung

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[Bearbeiten] Kleene-Logik K3

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[Bearbeiten] Gödel-Logiken Gk

[Bearbeiten] Łukasiewicz-Logiken Lk

[Bearbeiten] Produktlogik Π

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