Diverĝenco

El Vikipedio

Nuna versio (nereviziita)

En vektora kalkulo, diverĝenco de vektora kampo kiu estas certa skalara kampo. Diverĝenco estas montras kiel multe fluo, priskribata per la vektora kampo, naskiĝas en iu punkto de la spaco.

Estu ekzemple vektora kampo kiu priskribas rapidon kaj direkton de fluo de likvaĵo. Se la likvaĵo dum fluo ne ŝanĝas sian volumenon, diverĝenco de la kampo estas nulo. Sed se dum fluo volumeno de la likvaĵo naskiĝas el nenio, la diverĝenco estas pozitiva en la regiono de naskiĝo. Se dum fluo la likvaĵo parte malaperas, la diverĝenco estas negativa en la regiono de malapero. Ĉi tio povas okazi, ekzemple ĉar ĉi tie gravas volumeno sed ne maso de la likvaĵo. Se dum fluo premo malpligrandiĝas do la volumeno iom pligrandiĝas. Noto ke en la ekzemplo estas subkomprenate ke la tuta mapo de la fluo ne ŝanĝiĝas kun tempo, kvankam ĉiu aparta ero de la likvaĵo trapasas diversajn lokon.

Vektora kampo kiu ĉie havas nulan diverĝencon estas solenoida vektora kampo.

[redakti] Difino

Estu x, y, z sistemo de karteziaj koordinatoj en 3-dimensia eŭklida spaco, kaj estu m,�j,�k esti la respektiva bazo de unuoblaj vektoroj.

La diverĝenco de kontinue diferencialebla vektora kampo F = F₁ i + F₂ j + F₃ k estas difinita kiel funkcio kun skalara valoro:

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z}.$

La rezulto estas invarianta sub ĉiuj turnoj de la koordinatosistemo, do sub transformoj per ĉiuj pozitivaj perpendikularaj matricoj. Ĉi tiel devas esti ĉar laŭ la senco diverĝenco ne dependas de koordinatosistemo uzata.

Ofte uzata skribmaniero por la diverĝenco ∇·F estas mnemonika, kun la punkto signifanta kvazaŭ skalaran produton: preni la komponantojn de ∇ kaj apliki ilin al la komponantoj de F kaj sumi la rezultojn.

Simile diverĝenco estas difinta en iu ajn kvanto de dimensioj.

Estu

$\mathbf{F}=(F_1, F_2, \dots, F_n),$

Tiam

$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x_1} +\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial F_n}{\partial x_n}.$

[redakti] Propraĵoj

Jenaj propraĵoj povas ĉiuj esti derivita de la ordinaraj diferencialadaj reguloj de kalkulo. Plej grave, la diverĝenco estas lineara operatoro, do

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

por ĉiuj vektoraj kampoj F kaj G kaj ĉiuj reelaj nombroj a kaj b.

Estas produta regulo: se φ estas skalara valora funkcio kaj F estas vektora kampo, do

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$

aŭ en la alia skribmaniero

$\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).$

Alia produta regulo por la kruca produto de du vektoraj kampoj F kaj G en tri dimensioj enhavas la kirlon:

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),$

aŭ

$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

La laplaca operatoro de skalara kampo estas la diverĝenco de la kampa gradiento.

La diverĝenco de la kirlo de ĉiu vektora kampo (en tri dimensioj) estas konstanto kaj egalas al nulo. Male, se estas vektora kampo F kun nula diverĝenco en pilko en R³, do tie ekzistas iu vektora kampo G en la pilko tia ke F = rot(G). Por regionoj en R³ topologie pli komplikaj ol pilkoj, ĉi tiu lasta propozicio povas ne esti vera.

[redakti] Vidu ankaŭ jenon:

Diverĝenco

El Vikipedio

[redakti] Difino

[redakti] Propraĵoj

[redakti] Vidu ankaŭ jenon:

Vidoj

Personaj iloj

Navigado

Serĉi

Iloj

Aliaj lingvoj